M3 比与比例 Ratio and proportion

概念与公式

• 按 $a:b$ 分配总量 $T$：两部分为 $\frac{Ta}{a+b}$、$\frac{Tb}{a+b}$。
• 区分“部分：部分”和“部分：整体”，例如 $2:3$ 中第一部分占总量 $\frac{2}{5}$。
• 比例尺、浓度和混合问题：先明确比较对象与单位；混合物总量和其中目标物的量分别计算。
• 正比例 $y=kx$；反比例 $y=\frac{k}{x}$；幂比例可写成 $y=k{x}^p$ 或 $y=\frac{k}{x^p}$。
• 增长 $r$ 的倍率为 $1+r$，减少 $r$ 的倍率为 $1-r$；$r$ 用小数表示。

复利／衰减每期倍率相乘；简单利息中 $t$ 的时间单位须与利率周期一致。一般迭代按给定规则逐次更新。

相似图形：长度比 $k$、面积比 $k^2$、体积比 $k^3$。

Worked Example M3-E

The price of an item increases by 20% and then decreases by 20%. Its final price is £96. Find its original price.

Solution: Let the original price be $P$ pounds. Then $1.2\times 0.8P=0.96P=96$.

Answer: £100. 关键概念 Key concept： 百分比变化对应相乘的倍率，两次变化的基数不同。

易错点

涨、跌同一百分比不抵消；反推原价应除以倍率；面积比不能直接当作长度比。

Practice Questions

1. M3-1 Foundation: Divide 180 in the ratio $2:3:4$.
2. M3-2 Application: $y$ is inversely proportional to $x^2$. When $x=2$, $y=12$. Find $y$ when $x=3$.
3. M3-3 Challenge: Two similar solids have volumes in the ratio $27:64$. Find the ratio of their surface areas.