M2 数与运算 Number

概念与公式

• 掌握整数、负数、分数、小数和百分比四则运算，遵守运算顺序；先约分常比先相乘更快。
• 质数是大于 1 且仅有两个正因数的整数。用质因数分解求最大公因数 HCF、最小公倍数 LCM。
• 系统计数：分步骤列举，避免重复与遗漏；连续选择可用乘法原理。
• 区分 $\sqrt{a}$ 与解方程 $x^2=a$：前者是非负平方根，后者在 $a>0$ 时有两解。

指数公式使用时须保证表达式在实数范围有定义；负指数要求底数非零，偶次根要求被开方数非负。

• 标准形式：$a\times {10}^n$，正数通常写作 。
• 根式：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$（$a,b\ge 0$）；分母有两项时使用共轭因式有理化。
• 循环小数：令 $x$ 等于该数，乘以适当的 10 的幂后相减。
• 舍入：若正数 $x$ 四舍五入至单位步长 $u$ 得到 $a$，通常误差区间为 。
• 正数商 $\frac{A}{B}$ 的极限界由 $\frac{A_{\min }}{B_{\max }}$ 与 $\frac{A_{\max }}{B_{\min }}$ 确定；严格端点要结合原区间判断是否能取到。

Worked Example M2-E

Simplify $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$, giving an exact answer.

Solution: Multiply the numerator and denominator by the conjugate $\sqrt{5}+\sqrt{2}$:

Answer: $\sqrt{5}+\sqrt{2}$. 关键概念 Key concept： 共轭式利用平方差消去根式分母。

易错点

$\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$；$a^{-2}$ 不等于 $-a^2$；${\left(-3\right)}^2$ 与 $-3^2$ 不同；精确值不要过早改成小数。

Practice Questions

1. M2-1 Foundation: Find the HCF and LCM of 84 and 126.
2. M2-2 Application: Express $0.272727...$, where 27 repeats indefinitely, as a fraction in its simplest form.
3. M2-3 Challenge: When rounded to the nearest integer, $x$ is 8 and $y$ is 4. State the bounds for $\frac{x}{y}$, indicating whether either bound can be attained.